Um Wappen erzielt werden. Die Gegenwahrscheinlichkeit wird durch (1-p)n-k

Um die
Wahrscheinlichkeit von „k” Treffern, das heißt die gewünschte Trefferanzahl1, eines Ereignisses zu
bestimmen, kann die Binomialformel verwendet werden.

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Die Formel
beinhaltet verschiedene Parameter. Der Parameter „p” zeigt immer die Wahrscheinlichkeit auf, mit der ein Ereignis
eintrifft. Die variable „n” gibt die
Anzahl der Versuche wieder. Sie wird oft als Bernoulli-Kette bezeichnet.3 Neben dem Parameter k, welcher die Anzahl der gewünschten
Erfolge wiedergibt, zeigt P(X=k), dass
die Wahrscheinlichkeit für eine genaue
Anzahl an Erfolgen4
berechnet werden soll.

Betrachtet man
das Beispiel aus 1.2, so kann die
ursprüngliche Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der Binomialverteilung
berechnet werden. Da man den Versuch n-Mal durchführen kann und das Ergebnis
mit der Wahrscheinlichkeit p genau k Mal vorkommen soll, muss für jeden Pfad pk gerechnet werden. In
diesem Beispiel soll bei einer Wahrscheinlichkeit von p (zum Beispiel 0,5)
genau zweimal Wappen erzielt werden. Die Gegenwahrscheinlichkeit wird durch (1-p)n-k dargestellt. Jenes
drückt die Wahrscheinlichkeit für die restlichen Ereignisse aus. Die
Wahrscheinlichkeit der restlichen Ereignisse (1-p) wird dabei mit der Differenz aus der Anzahl der Versuche und
der Anzahl der gewünschten Erfolge hochgenommen.

Durch die Multiplikation von pk * (1-p)n-k erhält man
die Wahrscheinlichkeit für einen
Pfad. Um herauszufinden wie viele Pfade es gibt, wird der Binomialkoeffizient „n über k” berechnet.5 Er gibt somit die Anzahl
der Pfade an, bei denen das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit p genau k-Mal
vorkommt, wenn man eine Bernoulli-Kette der Länge n vorliegen hat.

 

Im Beispiel aus
1.2 würde die Rechnung lauten:

P(X=2)= „3 über 2″* 0,52*
(1-0,5)3-2=0,375

Die
Wahrscheinlichkeit das Wappen bei drei Durchgängen genau zweimal auftritt,
beträgt somit 37,5%.

 

1.    Binomialverteilung

 

1.4  Mindestwahrscheinlichkeit und
Höchstwahrscheinlichkeit

Neben der
üblichen Formel, welche die genaue Anzahl an k Treffern angibt (Formel siehe 1.3), findet man Aufgabenstellungen
vor, bei denen nach einem verschiedenen Operator gefragt ist. Häufig wird neben
der genauen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch nach der
Mindestwahrscheinlichkeit bzw. Höchstwahrscheinlichkeit von bestimmten
Ereignissen gefragt.

Wird nach der
Höchstwahrscheinlichkeit gefragt, so muss bei der ursprünglichen Berechnung von
mehrstufigen Zufallsexperimenten, beispielsweise mit dem Baumdiagramm, die
Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Pfad über die Multiplikation
(Pfadregel)  berechnet werden, der diese
Bedingung erfüllt. Anschließend werden diese Wahrscheinlichkeiten
zusammenaddiert (Summenregel), wodurch sich die Gesamtwahrscheinlichkeit für
dieses Ereignis ergibt.

Soll zum
Beispiel die Wahrscheinlichkeit für
höchstens einmal die fünf bei drei Wurfversuchen berechnet werden, so gibt
es lediglich zwei Ereignisse die eintreten können. Entweder tritt die fünf ein
oder nicht. Das heißt es muss die Wahrscheinlichkeit von P(=1) = P(X=1)
+ P(X=2) + P(X=3) berechnet werden, da die „fünf” einmal, zweimal oder
dreimal erscheinen kann.

Die Rechnung lautet: (3 über 1) = 3 * (1/6)1 * (5/6)2 + (3 über 2) = 3 * (1/6)2
* (5/6)1 + (3 über 3) = 1 * (1/6)3 * (5/6)0

1 Ohne
Verfasser: Bernoulli-Kette, https://matheguru.com/stochastik/bernoulli-kette.html,
Zugriff: 26.12.2017

2 Ohne
Verfasser: Binomialverteilung,
http://www.mathe-lerntipps.de/stochastik-ii/binomialverteilung.html, Zugriff:
26.12.2017

3 Ohne
Verfasser: Bernoulli-Kette, https://matheguru.com/stochastik/bernoulli-kette.html,
Zugriff: 26.12.2017

4 Ohne
Verfasser: Bernoulli-Kette, https://matheguru.com/stochastik/bernoulli-kette.html,
Zugriff: 26.12.2017

5 Rudolph,
Dennis: Binomialkoeffizient, https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomialkoeffizient.html,
Zugriff:26.12.2017